INTEGRALI DEFINITI: FUNZIONI PARI e DISPARI – Ripetizioni di Matematica
دعونا نحاول حل هذا التكامل بطريقتين . لنبدأ أولاً كما لو أردنا حل تكامل القوة الغاشمة . فماذا يحدث؟ أولًا، كالعادة ، نتخلى عن التكامل المحدد لنذهب ونقوم بالتكامل غير المحدد. لذا، سنقوم أولاً بحساب هذا التكامل غير المحدد . بالنسبة لخطية التكامل، فهذا يعادل الحصول على مجموع ثلاثة تكاملات . إذن لدينا تكامل x مكعب ، على اليمين، والذي يجب أن نضيف إليه تكامل ناقص x تربيع على اليمين، والذي يجب أن نضيف إليه تكامل واحد ، على اليمين. حسنًا، دعونا نحلها واحدًا تلو الآخر وماذا يعطونني ؟ إنهم ببساطة يعطونني حقيقة أنه يجب علي زيادة الأس ثم وضع هذا الأس المتزايد كمقام . لنفترض أن القاعدة العامة هي أنه إذا كان لدي x عند α وأريد تكامله ، سأحصل على ماذا؟ واحد على α+1 لـ x مرفوع إلى α+1 لذا كما كنت أقول، سأزيد الأس وأجعل نفس الأس هو المقام . فماذا يحدث؟ أن الأول يصبح ¼ x إلى الرابع . الطرح الثاني ، الذي يمكنني إخراجه من التكامل، ⅓ x إلى الثالث والأخير يصبح ببساطة x، لأننا لنتذكره ، لأنني أستطيع رؤيته على أنه 1 يساوي x مرفوعًا إلى الصفر ، لذا هذا وينطبق نفس المبدأ . لذا سأزيد الأس بمقدار واحد، لذا 0 + 1 هو 1، وفيما يلي سأقسم على 1. ولهذا السبب فإن التكامل 1 يعطيني المتغير فماذا حدث ؟ لقد حصلت على هذا هنا، وهو التكامل غير المحدد ، والآن كيف يعمل؟ بافتراض أن دالة التكامل هي هذه … f لـ x، على اليمين عندما أريد إجراء التكامل المحدد ، آخذ الدالة التي وجدتها، وهي في هذه الحالة ، F لـ x، وهناك لذلك يجب أن أفترض أن هذه هي النهايات، لذا يجب أن أذهب إلى a وb وأخذ تلك الدالة التي وجدتها، ويجب أن أحسبها في النهايات، وبالتالي في b و a. مثل؟ من خلال استبدال b أولاً ثم استبدال a ، يجب عليّ طرح قيم a . إذن في هذه الحالة ماذا يحدث؟ أريد حساب التكامل غير المحدد الآن ، لذا سأستبدل القيم . أبدأ من قيم b، لذا في هذه الحالة سيكون b هو 1 ، وبالتالي سأحصل على ¼ هنا أضع واحدًا أس أربعة، ناقص ⅓ واحد أس ثلاثة، زائد واحد لذا قمت باستبدال x بجميع قيم b . الآن أفعل نفس الشيء مع وجود علامة الطرح في المقدمة، ومع ذلك، سأستبدل جميع قيم a ، فماذا سأحصل ؟ أحصل على ¼ ناقص واحد أس أربعة، ناقص ⅓ ناقص واحد أس ثلاثة، زائد ناقص واحد. ماذا ألاحظ في هذه المرحلة ؟ وبما أن الأس لا يأخذ في الاعتبار علامة الطرح ، فهو نفس الشيء. إذن ماذا ألاحظ؟ ألاحظ أن هذا هو عكس هذا ، في حين ما الذي يحدث مع هذين؟ هذين الاثنين، هذين ، بما أن الأس ثلاثة فردي بدلاً من ذلك ، فإن علامة الطرح هذه تبقى، لذا فالأمر يشبه عمل ناقص بعلامة ناقص زائد، وبوجود علامة ناقص أخرى في المقدمة ، حدث أساسًا أنني من بين هذه، والآن لدي اثنين، وبالتالي سيكون لدي الثلثين بالضبط . والآن دعونا نستنتج لأنه لدينا ناقص ثلث، ناقص ثلث مرة أخرى، إذن إجمالي ناقص ثلثين ، والذي سأضيف إليه واحدًا ناقص ناقص واحد وهو زائد اثنين . إذن، المضاعف المشترك الأصغر ، ثلاثة في اثنين ستة، أطرح الاثنين ، ويصبح لدي أربعة أثلاث ، وهذه هي النتيجة هنا . لكن على أية حال، لنفترض أن هذه الطريقة لا ترضيني لأنني لن أستغل التماثل الخاص بي على الإطلاق مشكلة. لذلك، دعونا نبدي ملاحظة ونلاحظ أنني أقوم بدمج دالة معينة في فترة زمنية تتم بهذا الشكل ، -1 و 1. لذا دعونا نركز أولاً، على الفترة الزمنية. إذن سيكون لدي 1 و -1 ماذا ألاحظ؟ لقد لاحظت أنهما نفس القيم تمامًا ، لذلك يبدو الأمر كما لو كنت أفكر الآن في التكامل بين قيمة معينة، -a وقيمة معينة أخرى a . إذن، ما الذي ألاحظه ؟ ألاحظ أن مجال التكامل لوظيفتي متماثل . وهو متماثل بالنسبة للأصل، كما لو كان لدي مستوي ديكارتي هنا ، وأنا أقوم بالتكامل بين قيمة معينة وقيمة معينة . ولكن يجب أن نتذكر شيئًا أساسيًا للغاية ، وهو ماذا يعني التكامل ؟ التكامل يعني أن تأخذ دالة وتحسب المساحة تحت المنحنى . وهذا يعني أننا يجب ألا ننسى هذا الشيء الأساسي عندما نبدأ في إجراء التكاملات، وخاصة تلك المحددة منها. لذا، علينا أن نحاول معرفة كيفية استغلال، على سبيل المثال، تناظر مشكلتنا ، لماذا؟ لذلك، دعونا نتذكر ما هي الوظائف المعنية. نحن ندمج الدالة x مكعبة، وندمج الدالة x تربيع، وندمج الدالة الثابتة ذات القيمة الثابتة 1. نحن ندمج كل هذه الوظائف بين -1 و1، ومن الواضح أن هناك علامة الطرح هنا . ولذا يجب أن أتذكر كيف يتم إنشاء هذه الدوال x المكعب و x التربيعي ، وكيف يتم إنشاء الدالة الثابتة ذات القيمة الثابتة 1 ، أي أنه لا يجب أن أفقد هذه الرياضيات الأساسية في الوظائف . لذا دعونا نتذكر أنه إذا ذهبت وأخذت المستوى الديكارتي ، فإن الدالة x المكعبة تتعلق بهذا الشيء هنا. إذا ذهبت للحصول على الدالة x مربع فهذا الشيء هنا، وعندما أذهب للحصول على الدالة الثابتة ذات القيمة الثابتة 1 فهو هذا الشيء هنا. لهذا السبب ما هي المشكلة التي تسألني ؟ المشكلة تسألني، انظر ، أريد المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني بين القيمتين -1 و 1 . لذا، يجب ألا ننسى القيمة الحقيقية للتكامل ، وهي قيمة حساب المساحة تحت المنحنى . ومن ثم بدأنا نلاحظ أن شيئًا مهمًا يحدث ، وهو أننا نعتبر دالة فردية . أي أن هذه الدالة هنا على اليسار، الدالة x المكعبة، هي دالة فردية بشكل واضح . إذن ماذا يحدث ؟ ما يحدث هو أن المنطقة بأكملها الموجودة بالأسفل هنا هي عكس المنطقة الموجودة بالأسفل تمامًا . لذا فإن هاتين المنطقتين تعوضان ثم تدمران بعضهما البعض . لذا يمكنني أن أستنتج أنه عندما أقوم بدمج دالة بين -a وa، وهذه الوظيفة هنا غريبة ، ماذا يحدث؟ أن تكاملي هو صفر. إذا ذهبت بدلاً من ذلك إلى دمج دالة زوجية ، فماذا يحدث؟ وهو كما لو كان لدي قطعتين من هذه القطع هنا . لذلك سيكون كافيًا بالنسبة لي ألا أفكر في هذه القطعة هنا وأفكر في اثنتين من هذه القطع. كيف تترجم هذا بالقول حسنًا، أريد إجراء التكامل، لم يعد بين -a، أي أنني أبدأ، بدلاً من -a أبدأ من الصفر. لذا يبدو الأمر كما لو كان لدي صفر هنا و هنا، وما زلت سأقوم بحساب تكامل وظيفتي ، باستثناء أنني أعتبر اثنين من هذه الأجزاء . ودعونا نقول ما الذي يحدث هنا؟ نفس الشيء بالضبط . دعونا نرى الآن كيف نستغل هذه الملاحظة لصالحنا ، لأنه إذا عدت الآن وأردت النظر في هذا التكامل، حسنًا، هذا التكامل، ما هي قوة هذه المناقشة؟ أنني لست مضطرًا حتى إلى حسابها ، لأنني أعلم مسبقًا أن نتيجتها تعطيني صفرًا ، وبالتالي فإن هذا يوفر علي الكثير من الفواتير. ثم دعونا نفكر فيما يعنيه أخذ التكامل بين -1 و1 للدالة الثابتة ذات القيمة الثابتة 1؟ حسنا، هذا هنا إنه أمر سهل ، أي أنه يتم حسابه في الاعتبار، لأنه إذا كنت أعرف أن هذه القيمة هنا هي -1 وأنا هنا عند 1، فكم تبلغ هذه المساحة؟ انها واحدة تلو الأخرى. واحدا تلو الآخر يجعل واحدا. نفس الشيء هنا. لذا، قمت بإضافة مربعين من المساحة الأولى، لذلك لا أحسب ذلك على الفور ، لأنه نتيجة لذلك يعطيني مساحة هذه بشكل مباشر . اه… ليس من قبيل الصدفة ، إذا كنا في التمرين السابق، عندما كنا نحل المسألة بالقوة ، وجدنا اثنين في النتيجة ، مع القيام بجميع الخطوات مع نظرية التكامل. لكن لنفترض أن ذلك لم يكن ضروريًا، لأنه كان كافيًا بالنسبة لي أن أتذكر أن الدالة الثابتة ذات القيمة الثابتة واحد هي هذه هنا وأريد المساحة تحت تلك الدالة، بين سالب واحد وواحد. إذن ما حدث على الفور هو أنني تمكنت من حساب هذه المساحة. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا القيام بذلك الآن . حسنًا، فيما يتعلق بهذا الآخر ، ليس هناك المزيد من الثغرات، دعنا نقول، يجب علي الآن حساب هذا التكامل ، لكنني لا أحسبه بين سالب واحد وواحد ولكن بين صفر وواحد ثم أضاعفه . وايه الميزة اللي انا عارفها اصلا اني لما احط فيها صفر كل شي بيتدمر . إذن هذا هنا هو ناقص التكامل بين صفر وواحد ، لذلك يجب أن أضاعف ، ما دعنا نقول أنني أبرزته هنا. لذلك سأقوم بمضاعفة هذا الجزء . الحديث ينطبق أيضًا على الخط المستقيم، لأنه لنفترض أن الخط المستقيم زوجي أيضًا. لذا، هنا أيضًا كان يكفي حساب المربع ثم مضاعفته . الآن كان الأمر بسيطًا جدًا هنا، لذلك لم يبدو الأمر كذلك بالنسبة لي . لكن هنا الآن سأقوم دائمًا بعمل تكامل الدالة x مربع، على اليمين، وأنا الآن أطبق ، على سبيل المثال، نظرية التكامل. لذلك سيكون لدي ناقص مرتين، ماذا؟ سأقوم بالعثور على العنصر البدائي الآن، لذا لدي x al مكعب، أكثر من ثلاثة. إيه… علي أن أحسبه بين واحد وصفر ، فماذا يحدث نتيجة لذلك ؟ إنني لا أعتبره حقيقة عندما يكون هناك صفر ، لأنني عندما أضع الصفر فإنني أدمر كل شيء. لذا فإن ميزة تطبيق ذلك الشيء هي أنني أحفظ عدة عمليات، خاصة إذا كانت الوظيفة بأكملها زوجية، على سبيل المثال، أتخطى نصف الخطوات باستبدال الصفر. اذا ماذا يحدث الان؟ والذي سأساويه ، يجب ببساطة أن أستبدل 1 بحيث يكون لدي -2/3 وهنا أيضًا وجدنا الحل الذي كنا نتوقعه، وبالتالي فإن الخطوة الأخيرة هي ببساطة جمع المبلغ بين هاتين القيمتين ، ولكن "لقد فعلنا ذلك هنا بالفعل. " والآن، إذا رأى المرء هذه الأشياء بعد فوات الأوان، أليس كذلك؟ لذا، بالعودة إلى الوراء عندما قمنا بجميع الخطوات، حسنًا، هنا لم يكن من الممكن أن أعتبر جزءًا لا يتجزأ بشكل مباشر ، وبالتالي لم تكن هذه هنا موجودة على الإطلاق، كنت سأحفظ عدة خطوات، كما ترون ، لذا من، من، من، من هنا. لذا، في ضوء جميع الملاحظات التي تم تقديمها، يمكننا الآن إجراء هذا التكامل عمليًا في سباق السرعة، لأنني لا أحتاج إلى التفكير في هذا على الإطلاق، لأنني أعلم أنها وظيفة غريبة ، في حين أن كل ما هو موجود هنا، أعلم أنه يجب علي مضاعفة الأمر. إذن هذا يساوي اثنين في التكامل بين صفر وواحد ناقص x تربيع زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين في ناقص x إلى الثلثين زائد x . كل هذا ليتم حسابه بين الصفر والواحد. إذا ذهبت لحسابها بالصفر، فلا شيء يبقى ، لأن الدالة بأكملها تعتمد على x، وبالتالي تساوي مباشرة اثنين ، المضاعف المشترك الأصغر 3×1=3 أقوم بإزالة واحد، وبالتالي الثلثين، وهكذا ها هي نتيجتي . إذن، عند النظر إلى الأشياء باستخدام نظرية الدوال الزوجية والفردية ، ظهر هذا التكامل على الفور ، وبالتالي هذه فهي كلها وفقط الخطوات.
🔴 PLAYLIST INTEGRALI
🔴 PLAYLIST INTEGRALI MULTIPLI
🔴 TUTTI i VIDEO di MATEMATICA
Tratto da un Esame di Matematica per le Decisioni Aziendali.
📖CAPITOLI:
00:00 – START
00:03 – MODO 1
04:20 – FUNZIONI PARI e DISPARI
05:06 – IL SIGNIFICATO DI INTEGRALE
05:24 – METODO 2: SIMMETRIA
11:16 – INTEGRALE IN SPEEDRUN
MAG.MOE - The MAG, The MOE.